Правильно пишется “наверху” слитно. Вот почему: Это наречие: “Наверху” — это наречие, которое обозначает местоположение (где-то в верхней части, вверху). Большинство наречий, образованных от предлогов и существительных (или других частей речи), пишутся слитно. Не является сочетанием предлога и существительного: В отличие от ситуаций, когда предлог сочетается с существительным и образует отдельную часть речи (например, “на столе” — предлог “на” + существительное “стол”), “наверху” уже давно перешло в разряд наречий и пишется слитно...

Случаи типа «Затем мы обратились в бюро» и «За тем советом последовали примеры» очевидные, поэтому остановимся на них кратко: В первом случае «затем» = «потом», наречие, пишется слитно; во втором случае «за тем» — местоимение, за советом каким? тем, пишется раздельно. Труднее решить, слитно или раздельно писать, когда это встречается в сложном предложении, на стыке главного и придаточного. Например: Многие считают, что в бюро нужно обращаться только (за)тем, чтобы исправить ошибки. А как здесь? А здесь так: налицо значение цели...