Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Люди часто путают «зачем?» и «почему?». Например: — Зачем вам нужен сайт? — Ну потому что у всех есть. — Зачем нужно выполнить эту задачу? — Директор так сказал. — Зачем ты купила эти туфли? — Потому что они мне понравились. — Зачем ты его ударил? — А чё он такой #$@%! Чтобы такого не было, можно использовать волшебную фразу «чтобы что?». В ней более отчётливое целеполагание, и на неё нельзя ответить «потому что», как ни старайся. — Вам нужен сайт — чтобы что? — Чтобы привлекать клиентов. — Нужно выполнить эту задачу, чтобы что? — Э... м... Наверное, чтобы директор был доволен, а вообще низачем...