Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Раньше я не придавал особенно большого значения существенной разнице между этими двумя вопросами, что даже странно для человека, дописывающего уже третью книгу. Мне всегда больше нравилось спрашивать «Почему?» С детства помню стихотворение Саши Чёрного «Почему у мамочки на щеке две ямочки», настоятельно рекомендующее почаще задавать именно этот вопрос. Действительно, «почему у кошки вместо ручек ножки?» А в последние годы на это наложился еще и инструмент «5 почему» из арсенала бережливого производства...