При каком наименьшем n существуют n чисел из интервала (−1; 1), таких, что их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 30? Задача была предложена 2 февраля 2020 года на Объединённой межвузовской математической олимпиаде. Давайте сначала приведём пример для n=32. Пусть x[1]=x[2]=...=x[16]=a, x[17]=x[18]=...=x[32]=-a. Тогда сумма, очевидно, равна нулю, а условие на сумму квадратов приводится к уравнению 32a^2=30. Его решение a=sqrt(15)/4 по модулю меньше единицы. Теперь объясним, почему при n=30 не получится. Так как числа из интервала (-1,1), то x[k]^2<|x[k]|<1 при всех k. Значит, сумма тридцати квадратов будет меньше 30*1=30...

Первую часть разобрали здесь: Сегодня разбираем задания 20,21,22 Все они относятся ко второй части. ЗАДАНИЕ 20 В левой части уравнения два слагаемых, которые являются полными квадратами. Значит каждое слагаемой неотрицательное число. В каком случае сумма может быть равна нулю? Конечно, если мы складываем два противоположных числа (равных по абсолютному значению, но одно из них положительное, а другое отрицательное), или два слагаемых равны нулю. Но если ни одно из слагаемых не может быть отрицательным,...