Что такое "интеграл"? Удобнее всего, на мой взгляд, рассмотреть задачу о движении точки. За промежутки времени точка проходит какое-то расстояние. Можно ввести понятие средней скорости, поделив пройденный путь на время. Можно перейти к пределу, беря всё более мелкие интервалы, и получится мгновенная скорость: ее показывает спидометр, но она очень мало что говорит о пройденном пути. А вот пусть мгновенная скорость записывается в каждый момент времени и получается функция: зависимость скорости от времени...

Рассмотрим одну простую задачку с поучительным выводом. Дано, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна скорости лодки. Известна масса лодки и ее начальная скорость. Надо найти время движения до остановки и полный пройденный путь. И когда лодка погасит половину скорости? В данном случае решение прямолинейно как геодезическая в плоском пространстве-времени. Берем второй закон Ньютона: ma=F. Сила пропорциональна скорости: F=-kv. Минус потому, что сила направлена против скорости, это же сопротивление...