Эйлеров путь в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу.  Чтобы определить, существует ли эйлеров путь, нужно воспользоваться теоремой: эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нём имеется не более двух вершин с нечётными степенями.   Кроме того, граф должен быть достаточно связным (то есть если удалить из него все изолированные вершины, то должен получиться связный граф)...