В первую очередь, эта статья должна помочь готовящимся к ЕГЭ (если на Дзене такие есть). Здесь собраны правописания всех корней и все нюансы, которые мне только удалось найти, что спрашиваются в 9-х номерах на Едином гос. экзамене (по крайней мере, на 2023-2024 год). Какого же было мое удивление, когда становясь старше, я начал замечать изъяны и пробелы в образовании у многих взрослых людей. Безусловно, знание того или иного правила в русском языке не нужно человеку, не работающему на соответствующей должности...

Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...