Числовая последовательность - это упорядоченный набор чисел, расположенных в определенном порядке. Каждое число в последовательности имеет свой номер (индекс), который показывает его место в ряду. Формально: Числовая последовательность - это функция, определенная на множестве натуральных чисел (или его подмножестве) и принимающая значения в множестве действительных чисел...
Мы знаем, что такое простые числа. Это целые числа, которые делятся на себя и единицу. И все. Можно спросить: есть ли самое большое простое число? Не лишним будет привести здесь доказательство бесконечности ряда простых чисел. Следующее доказательство это принадлежит гениальному основателю геометрии, древнегреческому математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала». Оно относится к разряду доказательств «от противного». Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквою N. Составим произведение 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 ... N = N! и прибавим к нему 1. Получим N! + 1. Число это не делится ни на одно из чисел, меньших, чем N - всякий раз получится остаток 1. Но, быть может, оно делится на какое-нибудь число, большее, чем N? Что же может быть его делителем? Конечно, не простое число, так как простых чисел, больших нежели N, не существует (мы это предположили). Значит, оно составное. Но среди этих множителей должно непременно быть меньшее N (потому что разлагаемое число меньше N!), а мы знаем, что N! + 1 не делится ни на одно из чисел, меньших N - следовательно, не может делиться и на их произведение или на число, содержащее множителем хотя бы одно из них. Итак, предположение, что ряд простых чисел конечен, приводит к противоречию. Какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены, что за нею найдется еще бесконечное множество простых чисел.