В дробях существительным управляет дробная часть, поэтому оно используется в единственном числе. (Шесть целых) три десятых части — чего? — метра. О том, как произносятся десятичные дроби, можно почитать здесь...

«Заблудиться» при выборе нужного слова нетрудно. Вот, к примеру, держите вы в руках купюру достоинством в пятьсот рублей и думаете, смогут ли вам дать сдачу? И начинается… - У вас будет сдача с пятьсот рублей… ммм...