Есть два значения, в которых может употребляться слово обязанность. Первое – это требования, навязываемые кому-то принудительно. Второе – это добровольное принятие на себя каких-то обязательств. Добровольно принимаемая обязанность мотивируется соображениями, в рамках которых человеку выгодно иметь какие-то взаимные обязательства с другими. Если дом соседа горит, твоя обязанность бросить все дела, и бегать с вёдрами по маршруту пожар-колодец, если ты хочешь, чтобы в случае пожара в твоём доме сосед действовал так же...

Обе формы верны, однако они имеют разный смысл и используются в разных ситуациях. Проще всего понять через несколько примеров из литературы. “Чему обязан” Начнём с нескольких примеров из литературы. В ситуации, когда вы хотите узнать, почему другой человек что-то для вас сделал – нанёс визит, сделал подарок – нужно использовать “чему”. Смысл слов “чему обязан” такой: “что стало причиной для вашего поступка?” Оно может использоваться и в ироническом ключе, когда вам оказали медвежью услугу...