Вопрос в заголовке не совсем правомерный. Потому что правильный ответ на него: и так можно, и эдак. А вот в какой ситуации как — в этом и есть проблема. И к этой проблеме добавляется вторая похожая: когда писать «тоже», а когда «то же»? Будем рассматривать их вместе, так как правило одно и… такое же, в общем правило. Когда пишем слитно. «Также» — это союз. Союз пишется в одно слово. Не является членом предложения. Не отвечает ни на какой вопрос. Просто союз. Родной брат и синоним союза «тоже». И легко заменяется им...
Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...