Часто в математических кружках дают задачу определить, на сколько нулей заканчивается число 100!. (Восклицательный знак означает факториал. В частности, 100!=1*2*3*...*99*100, т.е. произведение натуральных чисел от 1 до 100.) Школьникам надо заметить, что число заканчивается на k или больше нулей, если в его разложении на множители входит минимум k двоек и минимум k пятёрок. Следующим продвижением будет соображение, что пятёрки встречаются реже, поэтому надо определить, на какую максимальную степень пятёрки делится 100!. Пятёрки входят в числа, кратные пяти (не очень неожиданно, правда?). Их ровно 100/5=20...

Решим сегодня следующую задачу: Сколькими нулями оканчивается произведение 1×2×3×4×…×1533×1534×1535? Формулировка не случайна. Эта задача была на II (продвинутом или усложнённом) этапе вступительного экзамена по математике в 7 класс школы 1535. Вспомним сперва, что нуль в конце числа получается, если умножить какое-то число на 10. Но 10 = 2×5. Значит, задача сводится к тому, чтобы узнать, сколько пар простых множителей 2 и 5 встречается в числе, которое является произведением 1*2*3*4*…*1533*1534*1535...