В этой публикации я разберу два задачи из теории графов, где одновременно фигурируют лемма Турана и числа Рамсея. Напомню, что лемма Турана в общем виде звучит так. Наибольшее число ребер у графов, имеющих v вершин и у которого нет n попарно соединённых вершин равно ex(v,n)=(n-2)(v^2-r^2)/(2n-2)+r(r-1)/2, где r - остаток при делении v на (n-1). Числом Рамсея r(m,n) называется минимальное количество человек в компании, в которой обязательно найдётся либо m попарно знакомых, либо n попарно незнакомых. Задача 1. Ребра графа на 300 вершинах покрашены в красный и синий цвета так, что нет одноцветных треугольников...

С данной статьи начнем разбирать тему графов и связанных с ними алгоритмов. Итак, Граф – это пара множеств V (англ. vertex) и E (англ. edge) где V – множество вершин E – множество неупорядоченных пар вершин из множества V (множество ребер) Граф может быть ориентированным (часто используют название «орграф»), неориентированным или смешанным. В ориентированном графе, ребра являются направленными (то есть пары в E являются упорядоченными, например, пары (a, b) и (b, a) это два разных ребра)...