Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Разбираем трудные случаи употребления простых предлогов. К врачу или КО врачу? Несмотря на две подряд согласные в слове «врач», правильно писать и говорить «к врачу». Предлог «ко» требуется лишь в ряде случаев: – перед словами «лев», «лед», «лен», «лоб», «ложь», «мох», «ров», «рожь», «рот», «весь», «всякий», «всяческий», «вторник», «второй», «многое» в дательном падеже: ко лбу, ко льву, ко всякому празднику; – перед словом «мне»: приходи ко мне; – перед словами «вчерашний», «шов» можно использовать и предлог «к», и предлог «ко»: обратимся к/ко вчерашним новостям...