Начну с одной популярной школьной задачи. В течение долгого времени я был убежден, что этот факт был известен чуть ли не древним грекам, тогда как на самом деле задача возникла лишь в 1947 году на математической олимпиаде Венгрии. В англоязычной Википедии она гордо именуется «Теоремой о знакомых (друзьях) и незнакомых» (Theorem on Friends and Strangers) а по-русски это просто задача о знакомствах среди шести человек: Среди шести человек всегда найдется либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых...

В этой публикации я разберу два задачи из теории графов, где одновременно фигурируют лемма Турана и числа Рамсея. Напомню, что лемма Турана в общем виде звучит так. Наибольшее число ребер у графов, имеющих v вершин и у которого нет n попарно соединённых вершин равно ex(v,n)=(n-2)(v^2-r^2)/(2n-2)+r(r-1)/2, где r - остаток при делении v на (n-1). Числом Рамсея r(m,n) называется минимальное количество человек в компании, в которой обязательно найдётся либо m попарно знакомых, либо n попарно незнакомых. Задача 1. Ребра графа на 300 вершинах покрашены в красный и синий цвета так, что нет одноцветных треугольников...