Функциональный метод подразумевает использование монотонности функций. Он заключается в подборе корня и доказательстве его единственности. Правило, которым будем пользоваться: Известно, что если функции f(x) и g(x) на области определения уравнения f(x) = g(x) непрерывные и одна из них убывает, а другая возрастает на этой области, то уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня...

Функция f(x), заданная на всей числовой оси, при всех действительных x и y удовлетворяет равенству f(x)f(y)=f(x−y). Известно, что f(1/2)=1. Чему равно f(2020)? Задача была предложена на заключительном этапе Межрегиональной предметной олимпиады Казанского федерального университета, 2019-2020 учебный год. Сначала изложу неправильное рассуждение, чтобы понять, какая самая распространённая ошибка. Положим y=x. Получим (f(x))^2=f(0). Значит, квадрат функции - постоянная. Следовательно, и сама функция постоянная. А раз f(1/2)=1, то функция тождественно равна 1. Т.е. и f(2020)=1. В чём же здесь ошибка? Никто нам не обещал, что функция непрерывна...