Представьте многочлен P(x)=x^100+x^20+1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами. Эта задача была на молдавском отборе 2004 года к юниорской Балканской олимпиаде. Для начала заметим, что x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1). Следовательно, P(x)=x^100+x^20+1=(x^40+x^20+1)(x^60-x^40+1). Теперь заметим, что x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1) и применим эту формулу два раза: P(x)= (x^40+x^20+1)(x^60-x^40+1)=(x^20-x^10+1)(x^20+x^10+1)(x^60-x^40+1); P(x)=(x^20-x^10+1)(x^10-x^5+1)(x^10+x^5+1)(x^60-x^40+1). Представление мы получили, но у читателей, возможно, возник вопрос, как мы замечали такие равенства...

Приведение многочлена к стандартному виду – это процесс записи многочлена таким образом, чтобы он был упорядочен и все подобные члены были сгруппированы и упрощены. Вот пошаговая инструкция: 1. Определите подобные члены: Подобные члены – это члены многочлена, имеющие одинаковые переменные в одинаковых степенях. Коэффициенты у подобных членов могут быть разными. Пример: В многочлене 3x^2 + 5x — 2x^2 + 7 — x подобные члены: 3x^2 и -2x^2 (оба содержат x во второй степени) 5x и — x (оба содержат x в первой степени) 7 (свободный член, число) 2...