Современный русский язык допускает употребление все этих форм: машу, машет, машут, махаю, махает, махают и т.д. Нормативными соответствующими стилистике современного русского языка считаются: машу, машет, машут, машем...

Сейчас модно изучать словообразование. Дети сидят, отбрасывают приставки, суффиксы, чтобы докопаться до корня и сказать, что слово образовано суффикно-приставочным способом (Хосспадя). Ну, а дальше что? Грамотность повысилась? Опять бедных детей заставляют погружаться в формальные орфографические правила, не объясняющих написание той или иной буквы и, вместо ответов, происходит нагромождение трудностей. Между тем, почему употребляются те или иные буквы, знает наука этимология, которую уже 100 лет в школах успешно игнорируют...