Популярный тип задач с трапецией и одно из самых частых дополнительных построений в трапеции Чаще только высоты проводят и среднюю линию рисуют. Тем не менее такие задачи (как правило) встречаются среди задач посложнее. Для одного из возможных решений нужно: одно доп. построение, один вывод по получившемуся четырёхугольнику (не трапеции) и одна формула площади (Геррона)...

Решение. Обозначим отношения оснований трапеции как х/5х. Прямая MN разделяет трапецию ABCD на две трапеции: MBCN и AMND. Запишем отношение площадей трапеций, выразив их через формулу: Найдем отношение EO к OF. Отрезки EO и OF являются высотами треугольников BO Cи AOD соответственно, следовательно, они относятся друг к другу как основания этих треугольников, а именно, как BC к AD: Найдем чему равно отношение BC к MN: Рассмотрим треугольники ACD и OCN – они подобны (угол С общий, угол CON равен углу CAD как соответственные углы при параллельных прямых MN и AD и секущей AC)...