Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Возможны оба написания — слитное и раздельное. Это зависит от того, в каком контексте вы употребляете слово и, соответственно, какой частью речи оно является в конкретном случае. “Зачем” пишется слитно, когда употребляется в значении “почему”, “для чего”, “нафига” и “с какой целью интересуетесь”. В этом случае “зачем” — это наречие. Например: — Зачем ты пришел? (то есть,...