Они бежали к поезду, (не)смотря под ноги. Не смотря — это деепричастие с частицей. А «не» с деепричастиями пишется раздельно. Важно не путать с предлогом «несмотря на». Если в предложении используется деепричастие с частицей, то его можно заменить другим деепричастием с частицей: «не глядя». Правильно: Они бежали к поезду, не смотря под ноги. (Не)смотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес. Несмотря на — это предлог. Используется в значении «вопреки чему-то». «Не» пишем слитно. Правильно: Несмотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес...

Наречия образуются из слов других частей речи (из существительных, прилагательных, местоимений, числительных, глаголов) и очень похожи на них. Правописание наречий (слитное, дефисное, раздельное) зависит от того, как они образовались. СЛИТНО наречия пишутся в 6-ти случаях: вдоволь, вдребезги, взаперти, восвояси, впритык, врасплох, втихомолку, запанибрата, заподлицо, наспех, настороже, натощак, невпопад, оземь, спозаранку и т.д.. Другими словами, наречие натощак пишется слитно, так как никто не помнит, кто такой тощак 😊...