Не очень хорошая практика — делать что-либо на бегу, но порой по-другому просто не получается. Вы, наверное, уже заметили: «на бегу» мы написали раздельно. Есть ещё, конечно, форма глагола «набегу» от «набежать», но мы сейчас говорим именно о наречии. Правильно: на бегу Наречные сочетания, образованные от существительного с предлогом, пишутся раздельно...

И начать предлагаю со слова «вместе». Или это несколько слов? На самом деле, можно писать и так, и так. Всё, как обычно, зависит от контекста. Если мы вспоминаем и мурлычем песенку: Вместе весело шагать по просторам… То здесь «вместе» отвечает на вопрос «как?» Это наречие. Пишем слитно. Если: Мы снова оказались в месте, где нас познакомили друзья. То здесь используется существительное «место» с предлогом «в». Можно проверить себя, разбив это сочетание вопросом: в (каком?) месте. Можно заменить предлог «в» на предлог «на»...