Разница между этими двумя словами по сути такая же, как между "color" и "colour", где первый вариант используется преимущественно в американском английском, а второй - а британском. Американцы используют вариант "mom", а британцы - "mum". Разница существует и в произношении. Американцы произносят "mom" как слово с долгим звуком ɑː /mɑːm/ (как в слове father), а британцы произносят "mum" с коротким и отрывистым гласным звуком ʌ /mʌm/ (с тем же гласным звуком, что в слове but). Стоит сказать и о том, что в ряде британских диалектов можно встретить и тот самый "американский" вариант...

Слово "mother" исключаем. Почему-то в школе (не знаю, как сейчас) изучается только слово "mother". Рассмотрим другие переводы слова "мама". Mom. Mum. А есть и совсем похожие на наше "мама": Mama. И произносится такой перевод также, как и у нас "мама". Вот так просто. И никаких сложных "mother". И еще два варианта перевода: Mamma...