Для того, чтобы понять, как пишется НЕ с причастиями и деепричастиями, нужно вспомнить, на какие части речи они похожи. Причастие имеет признаки глагола и прилагательного, а деепричастие - глагола и наречия. НЕ с деепричастиями Начинаем с деепричастий, потому что с ними в этом плане всё проще. Деепричастия пишутся с НЕ точно так же, как и с глаголами (осталось вспомнить правописание НЕ с глаголами). НЕ с глаголами, как мы знаем, пишется раздельно, кроме тех случаев, когда без НЕ слово не употребляется...

— Как это слитно? Меня учили, что «не» с деепричастиями пишется раздельно! — С деепричастиями-то раздельно, только это предлог…