Всем привет! Сегодня мы обсудим несколько доказательств того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). Про важные свойства ортоцентра можно прочитать по ссылке. А про то, как можно доказывать перпендикулярность, я писал вот в этом разборе. Итак, приступим. Напоминаю, что следить за публикациями также можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Общее практически во всех доказательствах того, что высоты пересекаются в одной точке следующее. Мы проводим две высоты и пытаемся проверить, что третья высота проходит через точку пересечения первых двух...

Задача: В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H. Докажите, что окружность, проходящая через точки A, C и H, равна окружности, описанной около треугольника ABC. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Если радиусы окружностей равны, то сами окружности равны. В △ABC: по теореме синусов для хорд: sin (∠ABC) = AC/2r, откуда радиус окружности O: r = AC/2sin(∠ABC)....