Это начало серии заметок, в которой мы постараемся досконально исследовать устройство обычной таблицы умножения, а заодно, познакомиться с некоторыми элементами теории чисел и теории колец. Таблица умножения всем нам привычна и кажется простой и понятной. Однако на неё стоит взглянуть внимательно и она расскажет нам кое-что новое о числах. Причём о числах не как о количествах чего-то, а как о более общих и универсальных алгебраических системах. В одной из прошлых заметок я писал про маленькие, но гордые конечные арифметики...

Понятие числа - основное в математике. Различие между «одно и много», по-видимому, относится к простейшим, доступным пониманию даже ребенка. Мальчик на берегу моря может взять один камешек, хотя видит много их. Взяв пригоршню камешков, он будет держать в руке более одного камешка, но гораздо меньше того, что видит. Чтобы установить точно, сколько у него камешков, мальчик может пересчитать их. Предположим, их 12. «Двенадцать» - название, данное этому числу камешков. Тем же свойством обладают все наборы из 12 предметов: 12 коров, 12 чаек, 12 энциклопедий и т...