Что такое "интеграл"? Удобнее всего, на мой взгляд, рассмотреть задачу о движении точки. За промежутки времени точка проходит какое-то расстояние. Можно ввести понятие средней скорости, поделив пройденный путь на время. Можно перейти к пределу, беря всё более мелкие интервалы, и получится мгновенная скорость: ее показывает спидометр, но она очень мало что говорит о пройденном пути. А вот пусть мгновенная скорость записывается в каждый момент времени и получается функция: зависимость скорости от времени...