Если очень коротко, то линейный оператор --- это функция от вектора, значение которой также вектор. Если думать о геометрическом векторе, который мы привыкли ассоциировать с чем-то вроде "летающего карандаша", то линейный оператор может растягивать, поворачивать, проецировать и так далее. Нюанс в том, что вектор это не всегда "привычный-нам-вектор". Вектором называется элемент линейного пространства и может так оказаться, что это многочлен, матрица или что-то ещё. Поэтому будет полезно чуть-чуть познакомиться с линейными пространствами...

Профессиональное чутьё – способность ценная, с этим вряд ли поспоришь. И всё-таки слепо ему доверяться тоже не стоит. Взять, хотя бы, мою психиатрическую чуйку. В основном она исправно работает, грех жаловаться. Но порой и сбои даёт, словно испорченный металлоискатель. К примеру, знаешь человека, общаешься с ним, никаких тревожных сигналов не чувствуешь. И потом, неожиданно для себя, видишь его раздавленным психическим недугом. Бывает и наоборот, чуйка звенит, верещит оглушительно, мол, безнадёжен...