Найдите произведение наибольшего отрицательного корня (в градусах) на количество различных корней уравнения
cos 3x + cos 9x + cos 15x = 0
на промежутке (–120°; 120°). Задача централизованного тестирования 2021 года. Вариант 6. Задача В7. РЕШЕНИЕ Применим формулу Применим к сумме cos 3x...
Эта задача была в варианте 1 Объединённой межвузовской математической олимпиады (ОММО) 2 февраля 2020 года. Упоминание варианта здесь важно, потому что в двух вариантах из четырёх метод, предложенный ниже, не работает.
Из школьного курса алгебры мы знаем формулы для синуса тройного угла и косинуса тройного угла:
sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x);
cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x).
Подставим эти формулы в уравнение:
12 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-39 cos(x)=8 sin(x)+11 cos(x);
4 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-50 cos(x)=0;
2 sin(x)-8 sin^3(x)+26 cos^3(x)-25 cos(x)=0;
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим...