Для начала немного вводных определений. Область определения функции - множество значений, которые может принимать аргумент функции. Область значения функции - множество значений, которые может принимать сама функция. Пример. Функция y=sinX. Областью определения функции является вся числовая прямая, то есть X может принимать любое значение. А область значений функции будет представлять собой промежуток от -1 до 1 включая, так как синус может принимать значения от -1 до 1. То есть Y может принимать значения от -1 до 1...

Есть такие аналитические функции: это те, которые разлагаются в степенной ряд и совпадают с его суммой хоть где-нибудь (на отрезке, дуге, в круге на комплексной плоскости...). Их можно продолжить на естественную для них область определения, так что начинаем мы, скажем, с луча (0,∞) (логарифм как пример), и потом распространяемся всюду куда можно. Обычно это вся плоскость кроме изолированных особых точек, но бывает по-всякому. О разнице между аналитическими, голоморфными, регулярными функциями — совсем скоро! Если есть особые точки, то функция может оказаться многозначной...