Задача: Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны? Легко понять, что квадрат и правильный пятиугольник нам годятся — у каждого из них все диагонали равны. А может ли быть больше пяти сторон у такого многоугольника? Докажем, что больше пяти сторон быть не может. Пусть есть выпуклый шестиугольник ABCDEF, все диагонали которого равны. Рассмотрим четырехугольник ABDE: Проведем диагонали AD и BE: По условию должно быть верно, что BD = AE = BE = AD, значит BD + AE = BE + AD...

Представьте, что вам нужно построить многоугольник, три стороны которого будут лежать на одной прямой, вот так: Можете ли вы сказать, какое наименьшее число сторон будет иметь такой многоугольник? Ответ, как обычно, вы найдёте ниже. ↓ ↓ ↓ Проще всего найти решение методом проб и ошибок, и у вас может получиться что-то вроде этого: Как видите, здесь всего 9 сторон, и меньшим количеством обойтись не получится. Но в этой задаче интересно выявить какую-нибудь зависимость, которая помогла бы сразу находить решение для многоугольников с любым количеством сторон, лежащих на одной прямой...