Классическая геометрическая задача на треугольнике. В решении помогут зоркие глаза и базовые знания о треугольниках. Условие: Точка пересечения высот остроугольного треугольника равноудалена от середин его сторон. Докажите, что треугольник равносторонний. Решение: Пусть H - центр пересечения высот (ортоцентр). BD высота треугольника ABC...

В остроугольном треугольнике ABC длины медианы AM и высоты BH равны и ∠ABH=∠BAM. Докажите, что треугольник ABC равносторонний. Решение. Обозначим через X точку пересечения отрезков AM и BH. Так как ∠ABH=∠BAM, то треугольник ABX равнобедренный, откуда AX=BX. Поскольку AM=BH, то отсюда следует, что MX=HX. В треугольниках AXH и BXM углы при вершине X вертикальные, поэтому эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ∠BMX=90∘ (как и АНХ)...