Есть такая теорема Жордана, и всякий, кто о ней пишет, всегда добавляет, что она очевидная, но доказательство очень сложно. Теорема утверждает, что гомеоморфный образ окружности делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Гомеоморфизм - это непрерывное обратимое преобразование, причем обратное тоже непрерывное. Можно себе представить окружность из веревки, тогда гомеоморфизм есть выкладывание какой-то фигуры из этой веревки, любой, но без самопересечений и, естественно, нельзя веревку резать и сшивать...

В топологии часто используют аллегорию изгибания. Гомеоморфизм — основной класс преобразований — это непрерывные взаимно-однозначные преобразования, такие, что и обратное тоже непрерывно. Иными словами, нельзя разрывать, склеивать, отображать много точек в одну или расщеплять одну точку на много. И все непрерывно, то есть если точки близки тут — они близки и там. Пластилиновая геометрия: лепи, растягивай, изгибай; но не разрывай и не склеивай! А есть и другая аналогия: рисование карты. Рим стоит...