Для начала сформулируем гипотезу в ее "официальном" виде: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Расшифруем некоторые понятия: Гомеоморфно - тождественно, совпадает, то же самое. Односвязное - любую замкнутую траекторию можно стянуть в точку. Например, шар (сфера) является такой поверхность, а тор - нет. На торе нельзя стянуть окружность в точку. Компа́ктное простра́нство- подразумевает собой свойства ограниченности и замкнутости т.е. не бесконечное...

В топологии часто используют аллегорию изгибания. Гомеоморфизм — основной класс преобразований — это непрерывные взаимно-однозначные преобразования, такие, что и обратное тоже непрерывно. Иными словами, нельзя разрывать, склеивать, отображать много точек в одну или расщеплять одну точку на много. И все непрерывно, то есть если точки близки тут — они близки и там. Пластилиновая геометрия: лепи, растягивай, изгибай; но не разрывай и не склеивай! А есть и другая аналогия: рисование карты. Рим стоит...