Функция f(x), заданная на всей числовой оси, при всех действительных x и y удовлетворяет равенству f(x)f(y)=f(x−y). Известно, что f(1/2)=1. Чему равно f(2020)? Задача была предложена на заключительном этапе Межрегиональной предметной олимпиады Казанского федерального университета, 2019-2020 учебный год. Сначала изложу неправильное рассуждение, чтобы понять, какая самая распространённая ошибка.
Положим y=x. Получим
(f(x))^2=f(0).
Значит, квадрат функции - постоянная. Следовательно, и сама функция постоянная. А раз f(1/2)=1, то функция тождественно равна 1. Т.е. и f(2020)=1.
В чём же здесь ошибка? Никто нам не обещал, что функция непрерывна...
Существует ли такая непериодическая функция f, определённая на всей числовой прямой, что при любом x выполнено равенство
f(x+1)=f(x)f(x+1)+1 ?
Задача была предложена на Московской математической олимпиаде 2020 года в варианте 11 класса. Автором указан "фольклор". Если читатели укажут, где эта задача была раньше, я буду весьма благодарен.
А решение состоит в том, чтобы поиграть с дробно-рациональными выражениями и доказать периодичность.
Из условия следует, что
f(x+1)=1/(1-f(x))...