Рассмотрим следующую последовательность где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу. 1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности А теперь воспользуемся неравенством Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности. 2. Ограниченность. Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей...

Математика онлайн. Доступно о сложном Добрый день! Данный предел встретился в сборнике задач студенческих олимпиад. Однако найти его его совсем не сложно. Начинаем... Пределы синуса и косинуса на бесконечности не существуют (из-за периодичности). Поэтому будем преобразовывать выражение. Воспользуемся "школьной" формулой разности синусов: Теперь аргумент синуса содержит неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность". Чтобы ее раскрыть, умножим и тут же разделим на сопряженное выражение...