В древности "тай" означало что-то далёкое, скрытое от глаз. Отсюда: тайна, таить. Скорее всего, тайцы получили своё название именно от него. Тогда, Катай – ещё одно далёкое/скрытое место ("как тай"). Тайга – "идти далеко" (поскольку "го" – идти). Когда пришли "татаро-монголы", русичи пытались понять, откуда те взялись. В итоге это место было обозначено как "куда идти далеко", или тайга. Так и говорили: "пришла тайга", что модифицировалось потом в "иго". Что касается слова "орда", здесь – чуть проще...