В браузере эта функция встроена самим сервисом. Реализуется через нажатие правой кнопки по видео и выборе пункта «Копировать URL видео с привязкой ко времени». В таком случае вы скопируете ссылку вида — youtu.be/hbcGx4MGUMg?t=137. Перейдя по ссылке, видео запустится с выбранного момента. Только в мобильных приложениях эта функция копирования не реализована...