В мире достаточно много нерешенных задач, но эти проблемы - самые сложные из всех. Гипотеза Коллатца Также известная как гипотеза 3n+1, проблема Сиракуз и числа-хеджи, это одна из самых сложных нерешенных проблем в математике. Возьмите любое натуральное число n и проделайте с ним следующие преобразования, и рано или поздно вы всегда получите 1. Если n четное, разделите на 2, если n нечетное, умножьте на 3 и добавьте 1. Для числа 3, 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+ 1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что продолжение преобразования с 1 начнет цикл 1, 4, 2...

Простые числа, отличающиеся на две единицы называются близнецами. На такие числа обратил внимание французский математик Альфонс де Полиньяк и у него возник вопрос: конечно или бесконечно число чисел близнецов? Очевидно, проблема: множество близнецов конечно или нет, является бинарной проблемой [ 1 ]. Теорема 1. Множество близнецов бесконечно. Доказательство. Допустим, что множество натуральных пар близнецов конечно. Первая пара натуральных близнецов - это (3, 5), т. е. n1 = 3. n1 + 2 = 5. вторая пара - это (5, 7), т. е. n2 =5, n2 + 2 = 7, ..., к-ая пара это (nк, nк + 2), а для любого nк+1 > nк пара (nк+1, nк +1 +2 ) не является близнецами...