Вчера прошла Всероссийская олимпиада по математике для 11-классников (школьный тур). Мне прислали две симпатичные задачи. Делюсь. Решения задач 1. Короткое решение заключается в том, что сумма углов 1 и 2, по условию задачи, равна 108 градусам. Углы правильного пятиугольника содержат 108 градусов, следовательно, углы 1 и 4, 2 и 3 попарно равны. Тогда четырёхугольники LDEA и KABC равны. Поэтому LD = KA и LD составляет 0,3AB, тогда CL = 0,7AB. Ответ: 0,7. Тут есть вопрос: а как обосновать равенство...
Угол, который необходимо найти, принадлежит одному из треугольников, образовавшихся при построении. Обозначим пересечение BL и EK точкой О. Постараемся найти угол KOB и угол EKB. Тогда легко найдем угол KBL. По условию ABCDE - правильный пятиугольник. Как найти углы правильного пятиугольника? Так же по условию AEK - равносторонний треугольник. Воспользуемся этим и найдем угол LEK: Острый угол прямоугольного треугольника LOE находим как разность 90 градусов и известного острого угла LEO. Заметим что углы LOE и КОВ равны как вертикальные: Получается угол КОВ найден...