Да! Нужно склонять обе части! Дед Мороз, Деда Мороза, Деду Морозу и тд. Обратите внимание, что с большой буквы мы пишем Дед Мороз, если речь идёт о сказочном персонаже. А если, например, речь идет об игрушке на елку, то с маленькой буквы и через дефис: стеклянный дед-мороз. Будьте грамотными 🎓 😔😔😔😔😔 Рекомендую зайти на сайт Грамота.Ру, если сомневаетесь в правильности написания и склонения составных существительных.