To fall asleep употребляется в прошедшем времени. I fell asleep last night/yesterday/last month, где fell это Past Simple от глагола to fall. Если мы говорим в настоящем времени, ссылаемся на свой режим сна или на то, что мы делаем каждую ночь, то используется форма fall asleep где fall это Present Simple от глагола to fall. I always fall asleep after reading a chapter of my book. (это то, что происходит каждую ночь и является частью повседневной жизни). Примеры: I went to sleep after midnight last night, I was very tired this morning...