Для многих математических вычислений, как в математическом анализе, так и в дискретной математике полезно знать ограничения, накладываемые на некоторые функции и величины. Например, для программистов полезно разбираться в алгоритмах. А значит нужно определять верхние и нижние границы поведения каких-либо выражений. В этой заметке поговорим о неравенствах, которые встречаются в школьной математике. Ох уж эти странные средние... Задача 0. Среднее арифметическое двух положительных чисел всегда больше...

Если мы возьмём два положительных числа a и b, тогда для них можно определить следующие средние значения. Среднее арифметическое (самое известное): Среднее геометрическое: Среднее гармоническое: Древним грекам была даже известна так называемая основная теорема о средних значениях, и они умели её доказывать. Говорит нам эта теорема о том, что при любых числах a и b среднее гармоническое будет меньше или равно среднему геометрическому, а среднее геометрическое – меньше или равно среднего арифметического...