Александр Александрович родился 7 января 1765 года в семье дворян. Уже в 1767 году он был записан в лейб-гвардии Измайловский полк. В 1774 году после смерти отца Александр Бибиков произведен в прапорщики, а в 1787 году уже стал капитаном. Боевое крещение принял во время русско - шведской войны 1788-1790. Бибиков испросил Высочайшее дозволение поступить волонтером в корпус генерал-поручика Михельсона. В шведскую кампанию Бибиков участвовал в рекогносцировках при посте Гекфорском и под деревней Киро, близ Вильманстранда, а затем и в сражении под Киро...

Борис Бибиков был ярким актёром, блестящим режиссёром и очень талантливым педагогом. Вместе со своей женой Ольгой Пыжовой он ставил спектакли и учил актёрскому мастерству студентов ГИТИСа, а после и ВГИКа. Учениками Бориса Бибикова были Вячеслав Тихонов, Руфина Нифонтова, Светлана Дружинина и другие известные актёры. Почти полвека Борис Владимирович прожил с Ольгой Пыжовой, а когда её не стало, женился ещё раз. Но он и представить себе не мог, что в конце жизни окажется в бедственном положении и будет проводить дни, запертый на чердаке в Душанбе...