Если вам не посчастливилось встретиться с такого вида проблемой, то исправить ее можно очень просто. Все, что вам нужно сделать - это запустить Steam от имени администратора (нажать ПКМ по иконке Steam и выбрать необходимый пункт)...

Причина кроется в устаревшем коде самой интеграции, доступной на данный момент в GOG. Всё, что нужно сделать - найти исправленную интеграцию, которую сделали другие неравнодушные люди. После установки интеграция заработает, и Вы снова сможете наблюдать свою статистику Steam в GOG Galaxy...