Теорема о выпуклом четырехугольника и соотношения вписанной и описанной окружности треугольника... Звучит неясно, многие из читающих уже и не помнят этого. Здесь не будет сложных доказательств, неясных построений и кучи расчетов. Сейчас я предлагаю вам просто взглянуть на эти две теоремы в движении и понять о чем они, а потом прочитать описание. Теорема о выпуклом четырехугольнике Суть теоремы довольно проста, но чтобы она работала нам нужен выпуклый четырехугольник. Что же такое выпуклый четырехугольник?...

На плоскости дано n>4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее n(n-1)(n-2)(n-3)/120 различных выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках. Сначала докажем, что если выбрать любые пять точек, то существует выпуклый четырехугольник c вершинами в них. Если выпуклой оболочкой этих пяти точек будет пятиугольник или четырёхугольник, то очевидно, что существует. Пусть выпуклая оболочка этих точек — треугольник. Тогда две точки лежат внутри этого треугольника. Прямая, проходящая через них пересекается две стороны треугольника (потому что никакие три точки не лежат на одной прямой)...