Они бежали к поезду, (не)смотря под ноги. Не смотря — это деепричастие с частицей. А «не» с деепричастиями пишется раздельно. Важно не путать с предлогом «несмотря на». Если в предложении используется деепричастие с частицей, то его можно заменить другим деепричастием с частицей: «не глядя». Правильно: Они бежали к поезду, не смотря под ноги. (Не)смотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес. Несмотря на — это предлог. Используется в значении «вопреки чему-то». «Не» пишем слитно. Правильно: Несмотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес...

Про то, что «не» с глаголами пишется слитно, если слово невозможно использовать без «не», помнят все. Со школы заучили, что “(не)навидеть” и “(не)здоровится” пишется слитно, потому что без НЕ эти слова не употребляются. НЕ в этом случае является приставкой: ненавидеть, нездоровиться, неистовствовать, невзлюбить, несдобровать. Мы же сегодня поговорим о словах, которые пишут неверно из-за того, что «слово без НЕ» есть в нашем языке. И это вносит определенную путаницу. Речь о словах с приставкой «НЕДО-»...