задачи по проективной геометрии

2 года назад

«Проективная геометрия для школьников» И.Д. Жижилкина (ниже предисловие с небольшими сокращениями) ««« Содержание школьного курса геометрии не слишком сильно изменилось по сравнению с «Началами» Евклида Первые главы учебника начинаются с измерения отрезков и углов, потом идёт равенство треугольников, потом возникают различные формулы, связывающие между собой эти длины и углы (...) Что останется от элементарной геометрии, если убрать из неё измерения? (...) На первый взгляд (...) [это] невозможно По крайней мере, в «Началах» нет теорем, не использующих никаких измерений, хотя бы косвенно Однако на самом деле такие теоремы существуют, хотя сформулировать их совсем не просто Интересно, как возникла потребность в таких неочевидных утверждениях и зачем нужна геометрия, которая не измеряет ни длин, ни углов (именно эту геометрию и называют проективной) Можно сказать, что классическая геометрия возникла для решения сугубо экономической задачи: разделить землю на участки А проективная геометрия появилась как инструмент для решения творческой задачи В эпоху Возрождения у художников появилась потребность изображать на холсте окружающий мир так, как мы его видим, как говорят — в перспективе (...) В самом деле, на перспективном изображении теряется равенство отрезков и углов, отношения отрезков тоже становятся другими Даже параллельные прямые начинают сходиться к горизонту, появляется, как говорят художники, «точка схода» Её нет в окружающем нас мире: ведь рельсы не пересекаются Но на картине они прекрасно пересекаются на линии горизонта Кстати, а что это за линия? Её ведь тоже нет, она иллюзорна Как же изображать на картине отсутствующие в природе вещи, добиваясь максимального правдоподобия? И вообще, как устроено правильное перспективное изображение? (...) теория оказалась гораздо богаче, чем предполагалось И как евклидова геометрия ушла далеко от своего истока, землемерия, так и проективная геометрия стала полноценным разделом математики, гораздо более глубоким, чем теория перспективы Период бурного развития проективной геометрии — XIX век К началу XX века она уже была стройной законченной теорией (...) Все важнейшие связи были найдены, все конструкции построены и обоснованы, и тогда проективная геометрия потихоньку перешла в область фундаментальной общеизвестной классики Сегодня классическая проективная геометрия находится на «ничьей земле» Замечательно красивые геометрические теоремы с изящными неожиданными чертежами слишком сложны для средней школы, а в университетском курсе на них, как правило, не хватает времени Эта книга написана прежде всего для того, чтобы хоть немного закрыть этот пробел и познакомить читателя с важными конструкциями и знаменитыми теоремами проективной геометрии Для её понимания не требуется никаких специальных знаний сверх обычной школьной геометрии в объёме девяти классов Книга рассчитана на любознательного старшеклассника или первокурсника, интересующегося геометрией Опыт автора говорит, что такие ученики ещё встречаются Некоторые главы написаны по материалам лекций Летней математической школы лицея Л2Ш »»»