В своей книге «Апология математики» Владимир Успенский рассказывает о решенных, нерешенных и нерешаемых задачах великой науки. Мы публикуем главу об одной из этих проблем — совершенных числах. Проблема — это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение)...

Книга известного математика В. А. Успенского ‘Апология математики‘ представляет собой сборник статей, в которых автор хочет показать ‘образованным дилетантам’ место математики: ‘все они [статьи] в той или иной степени относятся (или хотя бы примыкают) к не имеющей чётких границ области знания, которую одни именуют философией математики, другие – основаниями математики, третьи – ещё как-нибудь.’ Книга прекрасно написана. Ниже я остановлюсь на том, как математики обходятся с определениями при построении доказательств, поскольку: ‘Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше...