Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Давайте-ка разберемся, как "выглядят" криволинейные координаты с точки зрения физики, и почему мы ими пользуемся, и зачем, и можно ли не, и почему нельзя. Бывают такие "декартовы" координаты: три перпендикулярные прямые, или четыре, если речь о четырехмерном пространстве-времени. Но никто не мешает пользоваться криволинейными системами координат. Пример: сферические. Мы можем в обычном трехмерном пространстве использовать сферические координаты: иногда это удобно, иногда странно (но допустимо). А...